Πρώτοι αριθμοί ένα μεγάλο μαθηματικό πρόβλημα 2.500 ετών. Το μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών.
ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Ένα από τα βασικά προβλήματα των πρώτων αριθμών είναι ότι έως τώρα δεν έχει βρεθεί ένα μοτίβο κατανομής με αποτέλεσμα να κάνουν την υπόθεση ότι δεν υπάρχει μοτίβο. «Η μη ύπαρξη ενός μοτίβου κατανομής τους, η φαινομενική ανισορροπία κατανομής και εμφάνισής τόσο των Π.Α (πρώτων αριθμών) όσο και των διδύμων (ΔΔ) δημιουργεί την υπόθεση ως τώρα, ότι η ακολουθία των ΠΑ θυμίζει πολύ περισσότερο μια τυχαία διαδοχή αριθμών παρά μια καλά διατεταγμένη κανονικότητα. Μια υπόθεση που υιοθετούν οι αριθμοθεωρητικοί εδώ και πολλά χρόνια: Οι πρώτοι αριθμοί «συμπεριφέρονται» ως τυχαίοι αριθμοί.»
Παρακάτω δίνονται αρκετές ,συνοπτικές πληροφορίες για αυτό το μεγάλο μαθηματικό πρόβλημα για να μπορούν και οι μη ειδικοί αναγνώστες να γνωρίσουν την σημασία των πρώτων αριθμών στη ζωή μας, αλλά και τα βασικά προβλήματα του θεωρήματος των πρώτων αριθμών που απασχολούν την παγκόσμια μαθηματική κοινότητα και όχι μόνο σχεδόν 2.500 χρόνια.
ΜΟΤΙΒΑ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Η ακολουθία των πρώτων αριθμών είναι μια άπειρη ακολουθία που αποτελείται μόνο από περιοδικά μικρά –μεγάλα- μεγαλύτερα , απείρως μεγάλα μοτίβα αριθμών, είναι δηλαδή ένα μεγάλο άπειρο «περιοδικό μοτίβο αριθμών».
Είναι ένα μοτίβο αριθμητικό που περιέχει όλες τις πληροφορίες που αφορούν τους πρώτους αριθμούς, αλλά είναι και ένα γεωμετρικό οπτικό μοτίβο που προσδιορίζει μόνο με την δομή του σε κάθε μέγεθος αριθμού, ποιος αριθμός είναι πρώτος. Ούτε διαιρέσεις , ούτε αλγόριθμοι, ούτε αριθμητικές πράξεις. Εντελώς μηχανικά. Σε κάθε μέγεθος αριθμού συγκρίνοντας ένα απλό μοτίβο το ίδιο πάντα βρίσκει κανείς αν ένας αριθμός είναι ή όχι πρώτος . (Δηλαδή σαν μια κυλιόμενη «γραμμή» ποιοτικού ελέγχου προιόντων). Και μια «μηχανή» ακόμα μπορεί συγκρίνοντας ένα απλό μοτίβο να βρίσκει ποιοι είναι πρώτοι. Για αυτό το μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών το ονομάζω και σαν «αυτοτροφοδοτούμενη μηχανή» εύρεσης πρώτων αριθμών».
Το μεγάλο «αυτοτροφοδοτούμενο» μοτίβο των πρώτων αριθμών, που περιέχει και το μικρό των 40 αριθμών. Διαφορετικά η «αυτοτροφοδοτούμενη μηχανή» εύρεσης πρώτων αριθμών.
Στην πρώτη αυτή δημοσίευση ένα μικρό μέρος από το πρώτο μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών που είναι πρωτίστως αριθμητικό, είναι υπό μορφή γρίφου για να δούμε ότι το οπτικό μοτίβο περιέχει όλη την πληροφορία της δομής που το συνθέτει.. Ένας οπτικός γρίφος με ένα μόνο στόχο ότι οι πρώτοι αριθμοί μπορούν να ευρεθούν μόνο από τον «ορισμό » τους, και το μοτίβο τους. Ένα οπτικό μοτίβο μόνο του βρίσκει ποιοι αριθμοί είναι πρώτοι.
Για τους απλούς αναγνώστες το ερώτημα είναι ένα και απλό:
Ποιοί από τους 40 συνεχόμενους αριθμούς είναι πρώτοι αριθμοί. (π.χ 3,5,14,23,35). Η μόνη πληροφορία που χρειάζεται είναι ο ορισμός της έννοιας πρώτος αριθμός και το οπτικό μοτίβο των 40 αριθμών. Δηλαδή: Το μοτίβο προσδιορίζει ποιος αριθμός είναι πρώτος. Δοκιμάστε την παρατηρητικότητά σας και την φαντασία σας.
(Στα μαθηματικά πρώτος αριθμός (ή απλά πρώτος) είναι ένας φυσικός αριθμός με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του.» Κάθε ακέραιος αριθμός του 1 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών κατά μοναδικό τρόπο, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά των παραγόντων. π.χ:1Χ3=3, 2Χ3=6, 3Χ5=15, 3Χ3Χ7=63.)
Για τους γνώστες των πρώτων αριθμών:
Η ακολουθία των 25 πρώτων αριθμών είναι η εξής 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, … Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια.
Εννοιολογικά η λέξη μοτίβο :
1.επαναλαμβανόμενο «δομοστοιχείο». 2.Γενικό πλάνο που συνήθως αποτελείται από γεωμετρικά , αριθμητικά συναφή μέρη.»
Με βάση μόνο τις πληροφορίες αυτές συμπληρώστε το μοτίβο των 40 αριθμών που ακολουθεί και απαντήστε.
- Το μοτίβο αφορά 40 συνεχόμενους αριθμούς ,ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί;
- Το μοτίβο των 40 αυτών αριθμών ,αποτελεί ένα ελάχιστο μέρος του μεγάλου μοτίβου των πρώτων αριθμών που το περιέχει.
- Το μοτίβο περιέχει όταν συμπληρωθεί όλες τις πληροφορίες που χρειάζονται να προσδιοριστούν και οι 40 αριθμοί.(παραγοντοποίηση).
- Με βάση το μοτίβο ποιοι από αυτούς τους αριθμούς είναι πρώτοι αριθμοί ; (Το μοτίβο προσδιορίζει ποιος αριθμός είναι πρώτος.)
- Ποια είναι η λογική του μοτίβου που αποδεικνύει ποιοι είναι πρώτοι αριθμοί ; (αυτό είναι το βασικό ερώτημα).
Μοτίβο 40 συνεχόμενων αριθμών μικρό μέρος του μεγάλου μοτίβου των πρώτων αριθμών. Ποιοι από αυτούς είναι πρώτοι αριθμοί.
«Η παρούσα δημοσίευση αποτελεί ένα ελάχιστο τμήμα του συνόλου της εργασίας του «Θεωρήματος των πρώτων αριθμών» και τα πνευματικά δικαιώματα ανήκουν: • «Πνευματικά δικαιώματα © 2022 • Γιαννούλας Νίκος» •»
Πρώτοι αριθμοί
Το θέμα είναι μεγάλο και σημαντικό, και οι πληροφορίες στο διαδίκτυο είναι πολλές. Για την ευκολότερη κατανόηση και από τους μη ειδικούς είναι απαραίτητος έστω και λίγο μεγαλύτερος πρόλογος. Ο ορισμός της έννοιας πρώτος αριθμός είναι πολύ απλός και εύκολα κατανοητός από όλους.
Από την Βικιπαίδεια: «Στα μαθηματικά πρώτος αριθμός (ή απλά πρώτος) είναι ένας φυσικός αριθμός με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του. Ένας φυσικός αριθμός, ο οποίος δεν είναι πρώτος αριθμός ονομάζεται σύνθετος αριθμός. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι πρώτος, επειδή οι μόνοι διαιρέτες του είναι το 1 και το 5, ενώ το 6 είναι σύνθετος επειδή έχει διαιρέτες του το 2 και 3 εκτός των 1 και 6. Το μηδέν και το ένα δεν θεωρούνται πρώτοι αριθμοί.
Η ακολουθία των 25 πρώτων αριθμών είναι η εξής 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …… Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος (ζυγός) πρώτος αριθμός. Όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί (μονοί).
Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής καθορίζει το βασικό ρόλο των πρώτων αριθμών στη θεωρία αριθμών: κάθε ακέραιος αριθμός του 1 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων κατά μοναδικό τρόπο, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά των παραγόντων. Μια απλή αλλά αργή μέθοδος για να επαληθευτεί αν ένας δοθείς αριθμός n είναι πρώτος είναι η λεγόμενη δοκιμαστική διαίρεση. Η δοκιμαστική διαίρεση συνίσταται στον έλεγχο αν ο n είναι πολλαπλάσιο κάποιου ακέραιου αριθμού μεταξύ του 2 και του √n . Οι αλγόριθμοι που είναι πολύ πιο αποτελεσματικοί από τη δοκιμαστική διαίρεση έχουν επινοηθεί για να ελέγχουμε αν μεγαλύτεροι αριθμοί είναι πρώτοι.
Υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης περίπου στο 300 π.Χ. Δεν υπάρχει κανένας γνωστός τύπος ο οποίος να διαχωρίζει όλους τους πρώτους αριθμούς από τους σύνθετους. Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα από τα αντικείμενα της θεωρίας αριθμών και είναι μια πολύ ενεργή ερευνητικά περιοχή των μαθηματικών. Πολλά ερωτήματα γύρω από τους πρώτους αριθμούς παραμένουν ανοιχτά, όπως η υπόθεση του Ρίμαν, η εικασία του Γκόλντμπαχ, η οποία λέει ότι κάθε άρτιος ακέραιος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων. Τέτοιες ερωτήσεις οδήγησαν στην ανάπτυξη διάφορων κλάδων της θεωρίας αριθμών, εστιάζοντας στην αναλυτική ή αλγεβρική πλευρά των αριθμών. Οι πρώτοι χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς στην τεχνολογία πληροφοριών, όπως στην Κρυπτογράφηση Δημόσιου Κλειδιού, η οποία χρησιμοποιεί ιδιότητες, όπως τη δυσκολία να αναλύεις ένα μεγάλο αριθμό σε γινόμενο πρώτων αριθμών. Οι πρώτοι αριθμοί συμβάλλουν σε διάφορες γενικεύσεις σε άλλους μαθηματικούς τομείς, ιδίως στην άλγεβρα, όπως τα στοιχεία πρώτων και τα ιδανικά πρώτων.» Βικιπαίδεια.
Για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα, οι πρώτοι αριθμοί θεωρούνταν ότι είχαν εξαιρετικά περιορισμένη εφαρμογή έξω από τα καθαρά μαθηματικά: αυτό άλλαξε τη δεκαετία του 1970, όταν οι έννοιες της κρυπτογραφίας δημοσίου κλειδιού ανακαλύφθηκαν, στην οποία Κρυπτογράφηση Δημόσιου Κλειδιού, και οι πρώτοι αριθμοί αποτελούσαν τη βάση των πρώτων αλγορίθμων, όπως τον κρυπτογραφικό αλγόριθμο RSA.
Αυτοί οι αριθμοί είναι τα κλειδιά για τις κλειδαριές που προστατεύουν τα ηλεκτρονικά μυστικά του κόσμου. Γι’ αυτό και εταιρείες όπως η ΑΤ&Τ και η Hewlett-Packard επενδύουν χρήματα στην προσπάθεια για κατανόηση της περιπλοκότητας των πρώτων αριθμών και της Υπόθεσης του Ρίμαν. Η γνώση που θα αποκτηθεί από αυτή τη διαδικασία, θα μπορούσε να βοηθήσει στο σπάσιμο των κωδίκων οι οποίοι βασίζονται στους πρώτους αριθμούς και όλες οι εταιρείες που δραστηριοποιούνται στο διαδίκτυο, θα ήθελαν να μάθουν αμέσως ότι οι κώδικές τους δεν είναι πια ασφαλείς
1859, Ακαδημία του Βερολίνου: ο Γερμανός μαθηματικός Μπέρνχαρντ Ρίμαν, παρουσιάζει μια πραγματεία που αφορά το μυστήριο των πρώτων αριθμών. Η Υπόθεσή του υπόσχεται τη λύση του γρίφου.Η Υπόθεση του Ρίμαν αποτελεί ακόμη την υπ’ αριθμόν ένα μονομανία των κορυφαίων μαθηματικών. Η απόδειξή της συνδέεται με την ασφάλεια στις τραπεζικές συναλλαγές και στο ηλεκτρονικό εμπόριο. Ενδέχεται να επιφέρει κοσμογονικές συνέπειες στην εξέλιξη της επιστήμης, καθώς οι πρώτοι αριθμοί βρίσκονται στο σημείο συνάντησης της Κβαντομηχανικής και της Θεωρίας του Χάους.
Μια συνοπτική επισκόπηση «υποθέσεων – ρήσεων» που υιοθετούν σχετικά με την θεώρημα των πρώτων αριθμών, τα μέλη της παγκόσμιας μαθηματικής επιστημονικής κοινότητας :
«Η μη ύπαρξη ενός μοτίβου κατανομής τους, η φαινομενική ανισορροπία κατανομής και εμφάνισής τόσο των Π.Α (πρώτων αριθμών) όσο και των διδύμων (ΔΔ) δημιουργεί την υπόθεση ως τώρα, ότι η ακολουθία των ΠΑ θυμίζει πολύ περισσότερο μια τυχαία διαδοχή αριθμών παρά μια καλά διατεταγμένη κανονικότητα. Μια υπόθεση που υιοθετούν οι αριθμοθεωρητικοί εδώ και πολλά χρόνια: Οι πρώτοι αριθμοί «συμπεριφέρονται» ως τυχαίοι αριθμοί.»
“Οι πρώτοι αριθμοί είναι τα πιο βασικά αντικείμενα στα μαθηματικά. Είναι επίσης από τα πιο μυστηριώδη, γιατί μετά από αιώνες μελέτης, η δομή του συνόλου των πρώτων αριθμών δεν είναι ακόμη καλά κατανοητή. Η περιγραφή της κατανομής των πρώτων βρίσκεται στο επίκεντρο πολλών μαθηματικών…” Granville από το δελτίο τύπου AMS , 5 Δεκεμβρίου 1997.
«Οι μαθηματικοί προσπάθησαν μάταια μέχρι σήμερα να ανακαλύψουν κάποια σειρά στην ακολουθία των πρώτων αριθμών και έχουμε λόγους να πιστεύουμε ότι είναι ένα μυστήριο στο οποίο ο νους δεν θα διεισδύσει ποτέ». Leonard Euler , στο G. Simmons, Calculus Gems , McGraw-Hill, New York, 1992.
Ένα κάπως αποθαρρυντικό απόσπασμα για τους πρώτους αριθμούς από κάποιον που ήταν τόσο εξοικειωμένος με αυτούς όσο κάποιος ήταν ποτέ: «Θα περάσουν εκατομμύρια χρόνια μέχρι να έχουμε κάποια κατανόηση, και ακόμη και τότε δεν θα είναι μια πλήρης κατανόηση, επειδή είμαστε ενάντια στο άπειρο» P. Erdös (συνέντευξη με τον P. Hoffman, Atlantic Monthly , Νοέμβριος 1987, σελ. 74)
Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας για τους πρώτους, που είναι απρόβλεπτοι μέχρι τρέλας. Η εύρεση νέων πρώτων είναι κατά κανόνα ζήτημα δοκιμής και λάθους.Οι πρώτοι δέκα πρώτοι αριθμοί είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, αλλά η συχνότητά τους μειώνεται όσο επεκτείνεται η σειρά θετικών ακεραίων προς το άπειρο. Από τους οκτώ αρχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, οι μισοί είναι πρώτοι, αλλά από τους αρχικούς εκατό, μόλις το ένα τέταρτο είναι πρώτοι, ενώ από τους αρχικούς ένα εκατομμύριο θετικούς ακέραιους, μόλις ο ένας στους δέκα τρεις είναι πρώτος. Αυτό δημιουργεί το ερώτημα εάν μπορούμε να εξαγάγουμε κάποιο αξιόλογο συμπέρασμα για τον ακριβή τρόπο, με τον οποίο το ποσοστό αυτό μειώνεται σταδιακά. Το αρχικό πρότυπο της ακολουθίας πρώτων αριθμών και όσα γνωρίζουμε για τα μετέπειτα πρότυπα δεν είναι, όμως, ενθαρρυντικά. Τα διαστήματα μεταξύ των αρχικών δέκα πρώτων, για παράδειγμα, είναι 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4 και 6, μία ακολουθία που δεν μοιάζει να έχει εμφανή περιοδικότητα.
« Οι προσπάθειες μοντελοποίησης των πρώτων αριθμών με αποδεδειγμένο το γεγονός ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος το παραπάνω ερώτημα μοιάζει σαν ένα απροσπέλαστο εμπόδιο. «Το πρόβλημα του να διαχωρίσεις τους πρώτους αριθμούς από τους σύνθετους, καθώς και να αναλύσεις τους τελευταίους σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι γνωστό ως το πιο σημαντικό και χρήσιμο στην Θεωρία Αριθμών. Έχει απασχολήσει την δημιουργία και την σοφία πολλών αρχαίων και σύγχρονων γεωμετρών σε τέτοιο βαθμό που θα ήταν περιττό να συζητήσω το θέμα εις βάθος (…) επιπλέον η αξιοπρέπεια της ίδιας της επιστήμης φαίνεται να απαιτεί να εξερευνηθεί κάθε πιθανό μέσο για την επίλυση ενός προβλήματος τόσο κομψού και τόσο φημισμένου.» (Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Article 329, 1801).Το παραπάνω σχόλιο ανήκει στον ονομαζόμενο και “πρίγκιπα” των μαθηματικών Carl Friedrich Gauss (1777-1855) και μαρτυρά την χρησιμότητα των πρώτων , μέσα από την ανάλυση όλων των φυσικών σε γινόμενο πρώτων , αλλά και την τεράστια δυσκολία που έχει η απόπειρα να βρούμε έναν τρόπο παραγωγής πρώτου αριθμού.
Υπάρχει όμως και η αντίθετη άποψη. «Ίσως υπάρχει μια εναλλακτική άποψη» για να κατανοήσουμε αυτούς τους αινιγματικούς αριθμούς;
“Ίσως έχουμε μείνει τόσο κρεμασμένοι να κοιτάμε τα πρωτεύοντα (πρώτους αριθμούς) από την οπτική του Γκάους και του Ρίμαν και ότι αυτό που μας λείπει είναι απλά ένας διαφορετικός τρόπος για να κατανοήσουμε αυτούς τους αινιγματικούς αριθμούς. Ο Γκάους έκανε μια εκτίμηση για τον αριθμό των πρώτων, ο Ρίμαν προέβλεψε ότι η εικασία είναι στη χειρότερη περίπτωση, η τετραγωνική ρίζα του Ν από το σημάδι της, ο Λίτλγουντ έδειξε ότι δεν μπορείς να το κάνεις καλύτερα από αυτό. Ίσως υπάρχει μια εναλλακτική άποψη που κανείς δεν έχει βρει γιατί έχουμε δεθεί τόσο πολιτιστικά με το σπίτι που έκτισε ο Γκάους. ” (σελ.312.) Το πρόσφατο βιβλίο του καθηγητή μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, Marcus du Sautoy, The Music of the Primes (Fourth Estate, 2003).
Τα βασικά ερωτήματα (υποθέσεις) του θεωρήματος των πρώτων αριθμών δεν υπάρχουν ; ή δεν έχουν βρεθεί;
- Η μη ύπαρξη ενός μοτίβου κατανομής τους, θυμίζει πολύ περισσότερο μια τυχαία διαδοχή αριθμών παρά μια καλά διατεταγμένη κανονικότητα. Μια υπόθεση που υιοθετούν οι αριθμοθεωρητικοί εδώ και πολλά χρόνια:
- Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας για τους πρώτους, που είναι απρόβλεπτοι μέχρι τρέλας ,για τον ακριβή τρόπο, με τον οποίο το ποσοστό αυτό μειώνεται σταδιακά.
- Υπάρχει κάποιος μαθηματικός τύπος που παράγει πρώτους αριθμούς;
- Το αρχικό πρότυπο της ακολουθίας πρώτων αριθμών και όσα γνωρίζουμε για τα μετέπειτα πρότυπα δεν είναι, όμως, ενθαρρυντικά. Τα διαστήματα μεταξύ των αρχικών δέκα πρώτων, για παράδειγμα, είναι 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4 και 6, μία ακολουθία που δεν μοιάζει να έχει εμφανή περιοδικότητα. Είναι έτσι;
Και όμως και μοτίβα υπάρχουν, και ο περιοδικός πίνακας κατανομής υπάρχει, και ο μαθηματικός τύπος που παράγει πρώτους αριθμούς υπάρχει και το συνολικό σύμπαν των πρώτων αριθμών είναι ένα μεγάλο περιοδικό μοτίβο αποτελούμενο από μικρά, μεγάλα, μεγαλύτερα, απείρως μεγάλα περιοδικά μοτίβα, όπως και το πρόβλημα της χιλιετίας ( υπόθεση Ρίμαν, και η εικασία Γκόλντμπαχ) ισχύει;;;;;
Θα αρχίσουμε από τα μοτίβα των πρώτων αριθμών ,υπάρχουν πολλά που το κάθε ένα μας δίνει ειδικές πληροφορίες, με αρχή το μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών που μας παρέχει όλες τις πληροφορίες που αφορούν το άπειρο σύμπαν της αριθμητικής ακολουθίας των πρώτων αριθμών.
Η παρούσα δημοσίευση και οι λίγες που θα ακολουθήσουν δεν έχουν σκοπό να εξηγήσουν εδώ όλη τη θεωρία των πρώτων αριθμών αλλά να αναδείξουν πως υπάρχουν και ισχύουν οι παραπάνω βασικές υποθέσεις , που υποθέτουν ότι δεν υπάρχουν , κατά την υπόθεση που υιοθετούν οι αριθμοθεωρητικοί εδώ και πολλά χρόνια.
Στη επόμενη δημοσίευση η εξήγηση του οπτικού γρίφου και μια συνοπτική παρουσίαση – ανάλυση των μοτίβων των πρώτων αριθμών.
Γιαννούλας Νίκος
